यदि 2x = y^{1/5} + y^{-1/5} और (x^2 - 1) frac | vedclass

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Question

(B) दिया गया है: $y^{1/5} + y^{-1/5} = 2x$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{5} y^{-4/5} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{5} y^{-6/5} \frac{dy}{dx} = 2

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$-24$

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(B) दिया गया है: $y^{1/5} + y^{-1/5} = 2x$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{5} y^{-4/5} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{5} y^{-6/5} \frac{dy}{dx} = 2$. $\frac{1}{5} y^{-1} (y^{1/5} - y^{-1/5}) \frac{dy}{dx} = 2$. $(y^{1/5} - y^{-1/5}) \frac{dy}{dx} = 10y$. हम जानते हैं कि $(y^{1/5} - y^{-1/5})^2 = (y^{1/5} + y^{-1/5})^2 - 4 = (2x)^2 - 4 = 4(x^2 - 1)$. अतः,$y^{1/5} - y^{-1/5} = 2\sqrt{x^2 - 1}$. यह मान रखने पर: $2\sqrt{x^2 - 1} \frac{dy}{dx} = 10y$,जो सरल होकर $\sqrt{x^2 - 1} \frac{dy}{dx} = 5y$ हो जाता है। पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \frac{dy}{dx} + \sqrt{x^2 - 1} \frac{d^2y}{dx^2} = 5 \frac{dy}{dx}$. $\sqrt{x^2 - 1}$ से गुणा करने पर: $x \frac{dy}{dx} + (x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} = 5 \sqrt{x^2 - 1} \frac{dy}{dx}$. चूंकि $\sqrt{x^2 - 1} \frac{dy}{dx} = 5y$,इसलिए $x \frac{dy}{dx} + (x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} = 5(5y) = 25y$. व्यवस्थित करने पर: $(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} - 25y = 0$. $(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + \lambda x \frac{dy}{dx} + ky = 0$ से तुलना करने पर,$\lambda = 1$ और $k = -25$ प्राप्त होता है। अतः,$\lambda + k = 1 - 25 = -24$.

यदि $2x = y^{1/5} + y^{-1/5}$ और $(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + \lambda x \frac{dy}{dx} + ky = 0$ है,तो $\lambda + k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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